Resolución numérica completa de la Ecuación de la Clotoide

Javier Jiménez Shaw

Date: 2003-12...2009-02

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List of Figures

Introducción

La clotoide, o espiral de Cornú, es la curva que cumple la condición

$\displaystyle s\cdot\rho=A^2$

(1)

donde

es la longitud del arco, $\rho$ el radio de curvatura, y

el parámetro de la clotoide.

También se puede expresar como

$\displaystyle \frac{s}{\kappa}=A^2$

(2)

donde $\kappa$ es la curvatura, inversa del radio de curvatura.

**Figure 1:** Clotoide

Definición del problema

Para resolver la ecuación nos basamos en la definición de longitud de arco y de radio de curvatura (no son particulares para el caso de la clotoide)

$\displaystyle \varphi$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{s_o}^{s_1}{\frac{ds}{\rho}}$	(3)
$\displaystyle x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{\varphi_o}^{\varphi_1}{\rho \cos\!\varphi d \varphi}$	(4)
$\displaystyle y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{\varphi_o}^{\varphi_1}{\rho \sin\!\varphi d \varphi}$	(5)

Estas ecuaciones no están en coordenadas polares, sino que $\rho$ es el radio de curvatura, y $\varphi$ el angulo en radianes que forma la tangente en ese punto con el eje x.

Aplicando (1) en (3), y operando un poco tenemos:

$\displaystyle \varphi = \int_{s_o}^{s_1}{\frac{s}{A^2} ds} = \frac{1}{2} \left... ... \left( \frac{s_{o}}{A} \right) ^2 \right] \; ; \; d\varphi = \frac{s}{A^2} ds$

(6)

Para simplificar la notación, el origen de integracion, , será 0.

Ahora, aplicando estos resultados en (4) y (5),

$\displaystyle x = \int_{0}^{S}{\frac{A^2}{s} \cos\! \left[ \frac{1}{2}\left(\f... ...} = \int_{0}^{S}{\cos\! \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{s}{A}\right)^2\right] ds}$

(7)

$\displaystyle y = \int_{0}^{S}{\sin\! \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{s}{A}\right)^2\right] ds}$

(8)

Ecuaciones de Fresnel

Hacemos un cambio de variable para llegar a las famosas ecuaciones de Fresnel.

$\displaystyle u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{s}{A\sqrt{2}}$	(9)
$\displaystyle du$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{A\sqrt{2}}ds$	(10)
$\displaystyle ds$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A\sqrt{2}du$	(11)
$\displaystyle x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A\sqrt{2}\int_{0}^{U}{\cos u^2 du}$	(12)
$\displaystyle y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A\sqrt{2}\int_{0}^{U}{\sin u^2 du}$	(13)

Vemos que la razón de la homotecia que vamos a aplicar a las ecuaciones de Fresnel es $A\sqrt{2}$ , tanto en el valor de longitud de arco en la entrada como en los resultados

en la salida.

Las ecuaciones de Fresnel que resolvemos son:

$\displaystyle C(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{z}{\cos u^2 du}$	(14)
$\displaystyle S(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{z}{\sin u^2 du}$	(15)

**Figure:** $y = \int_{0}^{x}{\cos u^2 du}$

**Figure:** $y = \int_{0}^{x}{\sin u^2 du}$

Para resolverlas numéricamente las descompondremos en series de potencias. Para lograr la convergencia en pocos términos, dividimos, para valores pequeños de , en una serie de potencias positivas (la serie de Taylor) y para valores grandes de usaremos una serie de potencias negativas. El límite entre grande y pequeño lo discutiremos más adelante.

Para poder aplicar el desarrollo en serie a la integral, esta debe ser absolutamente convergente. En este caso lo son, por lo que podemos aplicar que

$\displaystyle f = \int{ \sum{g}} = \sum{\int{g}}$

(16)

Desarrollo de Taylor

El desarrollo en serie de Taylor del coseno y del seno son:

$\displaystyle \cos u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \frac{u^6}{6!} + ...$	(17)
$\displaystyle \sin u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} - \frac{u^7}{7!} + ...$	(18)

El desarrollo de $\cos u^2$ y $\sin u^2$ por tanto:

$\displaystyle \cos u^2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 1 - \frac{u^4}{2!} + \frac{u^8}{4!} - \frac{u^{12}}{6!} + ...$	(19)
$\displaystyle \sin u^2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle u^2 - \frac{u^6}{3!} + \frac{u^{10}}{5!} - \frac{u^{14}}{7!} + ...$	(20)

Integrando estos polinomios entre 0 y

, nos queda:

$\displaystyle C(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle z - \frac{1}{5} \frac{z^5}{2!} + \frac{1}{9} \frac{z^9}{4!} - \frac{1}{13} \frac{z^{13}}{6!} + ...$	(21)
$\displaystyle S(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{3} z^3 - \frac{1}{7} \frac{z^7}{3!} + \frac{1}{11} \frac{z^{11}}{5!} - \frac{1}{15} \frac{z^{15}}{7!} + ...$	(22)

que podemos expresar de forma compacta así:

$\displaystyle C(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i=0}^{n_{p}}(-1)^i \frac{z^{4i+1}}{(4i+1)(2i)!}$	(23)
$\displaystyle S(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i=0}^{n_{p}}(-1)^i \frac{z^{4i+3}}{(4i+3)(2i+1)!}$	(24)

Desarrollo en serie de potencias negativas

En primer lugar calculamos una aproximación asintótica de la siguiente integral:

$\displaystyle I(z)=\int_z^\infty e^{-t^2} dt=\frac{-1}{2}\int_z^\infty\frac{-2t\cdot e^{-t^2}}{t} dt,$

(25)

Integramos por partes y obtenemos

$\displaystyle I(z)=\frac{e^{-z^2}}{2z} -\frac{1}{2}\int_z^\infty \frac{e^{-t^2}}{t^2}dt$

(26)

Integramos por partes en la integral que aparece en la fórmula (26). Así,

$\displaystyle \int_z^\infty \frac{e^{-t^2}}{t^2} dt=\frac{-1}{2}\int_z^\infty \... ...\frac{1}{2}\frac{e^{z^2}}{z^3}-\frac{3}{2}\int_z^\infty \frac{e^{-t^2}}{t^4}dt.$

(27)

Sustituyendo (27) en (26) obtenemos:

$\displaystyle I(z)=\frac{1}{2}\frac{e^{-z^2}}{z}-\frac{1}{2^2}\frac{e^{-z^2}}{z^3}+\frac{3}{2^2}\int_z^\infty\frac{e^{-t^2}}{t^4}dt.$

(28)

En general, para cada $n\in\mathbb{N}$

$\displaystyle \int_z^\infty \frac{e^{-t^2}}{t^{2n}} dt=\frac{1}{2}\frac{e^{-z^2}}{z^{2n+1}}-\frac{(2n+1)}{2}\int_z^\infty\frac{e^{-t^2}}{t^{2n+2}}dt.$

(29)

Reiterando el proceso de integración por partes obtenemos:

$\displaystyle I(z)=\frac{e^{-z^2}}{2z}\cdot \left(1+\sum_{k=1}^n (-1)^k\frac{1\cdot 3\cdot \ldots\cdot (2k-1)}{(2z^2)^k}+r_n(z)\right),$

(30)

donde

$\displaystyle r_n(z)=(-1)^{n+1}\frac{1\cdot 3\cdot \ldots\cdot (2n+1)}{2^n}ze^{z^2}\int_z^\infty \frac{e^{-t^2}}{t^{2n+2}}dt.$

(31)

Puede comprobarse que cuando $\vert z\vert\rightarrow \infty$ el producto $z^{2n}\cdot r_n(z)$ converge uniformemente a cero, así podemos aproximar la integral

por:

$\displaystyle I(z)\approx \frac{e^{-z^2}}{2z}\cdot\left(1+\sum_{k=1}^n (-1)^k\frac{1\cdot 3\cdot \ldots\cdot (2k-1)}{(2z^2)^k}\right)$

(32)

Ahora las integrales que buscamos (14) (15):

$\displaystyle C(z)=\int_0^z\cos(t^2)dt$

$\displaystyle S(z)=\int_0^z\sin(t^2)dt$

están relacionadas de forma que:

$\displaystyle C(z)+i\cdot S(z)=\int_0^z e^{it^2}dt.$

(33)

Utilizaremos la representación asintótica de la integral

, ecuación (32), en la fórmula (33), para ello haremos el cambio de variable

quedando entonces:

$\begin{displaymath}\begin{split}C(z)+i\cdot S(z)&=\int_0^z e^{it^2}dt &=e^{\fr... ...{4}i}\cdot I\left(z\cdot e^{\frac{-\pi}{4}i}\right) \end{split}\end{displaymath}$

(34)

Después de la ecuación (32) tenemos que

$\begin{displaymath}\begin{split}I\left(z\cdot e^{\frac{-\pi}{4}i}\right)&\approx... ...dot (2k-1)}{2^k z^{2k}} e^{\frac{\pi}{2}k i}\right) \end{split}\end{displaymath}$

(35)

Sustituyendo el resultado obtenido en (35) en la ecuación (34) obtenemos:

$\displaystyle C(z)+i\cdot S(z)=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}+i\frac{\sqrt{2\pi}}{4}-\fr... ...\frac{1\cdot 3\cdot \ldots\cdot (2k-1)}{2^k z^{2k}} e^{\frac{\pi}{2}k i}\right)$

(36)

La parte real de la segunda parte de la igualdad (36) corresponde a la integral

y la parte imaginaria a

$\displaystyle C(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2\pi}}{4}-\frac{1}{2z}\left(Q(z)\cdot \cos(z^2)-P(z)\sin(z^2)\right)$	(37)
$\displaystyle S(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2\pi}}{4}-\frac{1}{2z}\left(P(z)\cdot\cos(z^2)+Q(z)\sin(z^2)\right),$	(38)

donde

$\displaystyle P(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{k=0}^{n_{n}}\frac{ (-1)^k\cdot \alpha_{2k}}{(2z^2)^{2k}}$	(39)
$\displaystyle Q(z)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{k=0}^{n_{n}}\frac{ (-1)^k \cdot \alpha_{2k+1}}{(2z^2)^{2k+1}}$	(40)

siendo $\alpha_k=1\cdot 3\cdot \ldots\cdot (2k-1)$ y $\alpha_0=1$ .

Conclusión

¿Cómo distinguimos entre grande y pequeño para elegir una formulación u otra? En un primer tramo de la curva se comporta perfectamente la serie de Taylor. De hecho se suele resolver con una cúbica. Para altos valores de longitud de arco la serie de potencias negativas da buenos resultados con pocos términos del sumatorio. La cuestión viene en la transición de uno a otro. Para decidirnos por un valor, calculemos el punto de distancia miníma entre los valores calculados con las dos fórmulas. El punto de corte corresponde a una longitud de arco de aproximadamente 4.28.

Para confirmar los cálculos hechos con Excel, usamos de referencia las integrales (14) y (15) resueltas con http://www.scilab.org/Scilab. Con estos datos podemos dividir el rango de en 5 intervalos. De 0 a 1.5, $n_{p}=10$ ; de 1.5 a 2.8 $n_{p}=20$ ; de 2.8 a 4.28 $n_{p}=30$ ; de 4.28 a 6.7 $n_{n}=8$ ; de 6.7 a $\infty$ $n_{n}=6$ ; siendo $n_{p}$ y $n_{n}$ los términos de las series positiva y negativa.

Muchas gracias a María Muñoz por su inestimable colaboración.

Como ejemplo puedes mirar más herramientas en Clothos

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